Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/484

470

CHAPITRE XXI.

230.On peut se proposer maintenant de rattacher les développements du n^o 228 à ceux du Chapitre VII.

Nous avons vu au n^o 225 que, quand $\varepsilon =0,$ les équations admettent une solution périodique simple

$x=t,\qquad p=y=q=0$

avec les exposants caractéristiques $\pm {\sqrt {2\mu }}$ et que les solutions asymptotiques correspondantes sont

${\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}},&\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t.\end{aligned}}$

La troisième de ces équations peut aussi s’écrire

$\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}$

ou

$\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}$

suivant qu’on prend le signe supérieur ou le signe inférieur.

Comme les exposants caractéristiques ne sont pas nuls, les principes des Chapitres III et IV nous apprennent que, pour les petites valeurs de $\varepsilon ,$ il existera encore une solution périodique ; nous aurons encore $x=t,$ pendant que $p,$ $y$ et $q$ seront des fonctions de $t$ et de $\varepsilon ,$ développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ s’annulant avec $\varepsilon$ et périodiques de période $2\pi$ par rapport à $t.$

De même les exposants caractéristiques qui seront égaux et de signe contraire, et que j’appellerai $\pm \beta ,$ seront développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon$ (Cf. Chapitre IV) ; $\beta$ se réduira à $+{\sqrt {2\mu }}$ pour $\varepsilon =0.$

Pour les petites valeurs de $\varepsilon$ il existera également deux séries de solutions asymptotiques qui se présenteront sous la forme suivante ; pour la première série, nous aurons

(17)

${\begin{aligned}x&=t,&p&=\eta _{1},&q&=\eta _{2},&\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}&=\eta _{3},\end{aligned}}$

$\eta _{1},$ $\eta _{2}$ et $\eta _{3}$ étant des séries développées suivant les puissances de $\mathrm {C} e^{-\beta t},$ et dont les coefficients sont périodiques en $t.$