Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/115

103

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

ou, en supprimant les accents devenus inutiles,

$\mathrm {F} _{0}=h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}.$

Les fonctions $h_{2},$ $h_{3},$ $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ ne dépendent que de $y_{2}$ et de $y_{3}$ et sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à ces deux variables.

Je vais recommencer les changements de variables du n^o 274 ; tout ce que j’en ai dit reste vrai, mais seulement au point de vue formel.

Pour que je puisse appliquer les principes du calcul formel, il faut qu’il y ait un paramètre par rapport aux puissances duquel s’effectuent les développements. Ici ce sera le paramètre $\mu .$

En effet, $\mathrm {F}$ et par conséquent $h_{2},$ $h_{3},$ $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ sont développables suivant les puissances entières de $\mu .$ J’ajoute que, pour $\mu =0,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ se réduisent à 0 et que $h_{2},$ $h_{3},$ $\mathrm {A}$ se réduisent à des constantes que j’appelle $h_{2}^{0},$ $h_{3}^{0}$ et $\mathrm {A} _{0}.$

Cherchons à intégrer les équations suivantes

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-h_{2},&{\frac {dy_{3}}{dt}}&=-h_{3}.\end{aligned}}$

Je cherche à faire l’intégration de telle manière que

$y_{2}-y_{2}',\quad y_{3}-y_{3}'$

soient des fonctions périodiques de période $2\pi$ de deux variables nouvelles $y_{2}'$ et $y_{3}'$ qui devront elles-mêmes être de la forme

${\begin{aligned}y_{2}'&=n_{2}t+\varpi _{2},&y_{3}'&=n_{3}t+\varpi _{3};\end{aligned}}$

$n_{2}$ et $n_{3}$ sont des constantes développables suivant les puissances de $\mu \,;$ $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}$ sont des constantes d’intégration.

Les équations (1) prennent alors la forme

(2)

${\begin{aligned}n_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{2}'}}+n_{3}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{3}'}}&=-h_{2}&n_{2}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{2}'}}+n_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{3}'}}&=-h_{3}.\end{aligned}}$

Nous poserons

${\begin{alignedat}{4}h_{i}&=h_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,h_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}h_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,y_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}y_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\n_{i}&=n_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,n_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}n_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots \end{alignedat}}$

et nous supposerons que les $n_{i}^{(k)}$ sont des constantes ; que les $h_{i}^{(n)}$