Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/114

102

CHAPITRE XXV.

je veux dire en faisant

${\begin{aligned}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}}&=0,&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}&=\mathrm {A'} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ désignant des constantes finies.

276.Passons au cas où il y a plus de deux degrés de liberté. Les résultats précédents peuvent se généraliser de deux manières différentes.

Il nous suffira, pour l’expliquer, de supposer trois degrés de liberté. Il peut arriver qu’on veuille étudier nos équations dans le voisinage d’un système de relations invariantes

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=0,$

jouant le rôle d’une généralisation des solutions périodiques au sens du n^o 209.

Il peut arriver aussi qu’on veuille les étudier dans le voisinage d’une véritable, solution périodique

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=y_{2}=0.$

Dans le premier cas, il y a quatre relations invariantes et une relation linéaire entre les moyens mouvements, relation que nous avons, en employant au besoin le changement de variables du n^o 202 mise sous la forme

$n_{1}=0.$

Dans le second cas, il y a cinq relations invariantes, et deux relations linéaires entre les moyens mouvements, que nous avons mises sous la forme

$n_{1}=0,\qquad n_{2}=0.$

Nous commencerons par le premier cas et nous poserons

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ';&x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&x_{3}&=\varepsilon ^{2}x_{3}'\end{aligned}}$

les équations restent canoniques et $\mathrm {F} '$ devient développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ sous la forme

$\mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots .$

On a d’ailleurs

$\mathrm {F} _{0}'=h_{2}x_{2}'+h_{3}x_{3}'+\mathrm {A} x_{1}'^{2}+2\mathrm {B} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {C} y_{1}'^{2},$