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CHAPITRE XXVII.
Nous supposerons que
ne s’annule pas quand
reste inférieur
à une certaine limite
Alors
conservera toujours le
même signe et l’on aura, par exemple,
![{\displaystyle {\frac {dy_{2}}{dt}}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37850a9aea232d18f43fd856be1d9babb638028)
Cette inégalité, vraie pour
le sera encore pour les petites
valeurs de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Alors les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=0,&|x_{1}|&<a-\varepsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9cf620361df7b3b0e84df3bfa1eb072b6f1bb4)
définiront un certain domaine plan
qui aura d’ailleurs la forme
d’un cercle.
Les trajectoires issues d’un point de ce domaine ne seront alors
jamais tangentes à un plan passant par l’axe des
du moins
avant d’avoir recoupé de nouveau le demi-plan
Notre
domaine pourra donc jouer le rôle du domaine
du no 310.
Les équations (1) admettent l’invariant intégral
![{\displaystyle \int dx_{1}\,dx_{2}\,dy_{1}\,dy_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f54271d4c81d487046f4f43509ee50b012c210d)
d’où l’on déduit le suivant à l’aide de l’intégrale ![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ba6cbfb2d8647df984ebb050c2e46a1bd6d95e)
![{\displaystyle \mathrm {J} =-\int {\frac {dx_{1}\,dy_{1}\,dy_{2}}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3764314ef7dc2f50f91db2f395b5166733a40213)
Mais
est égal à
et par conséquent négatif. L’invariant
est alors un invariant positif.
Les résultats des nos 306 et 308 sont donc applicables aux
courbes tracées dans le domaine
Cela posé, soit
une valeur de
plus petite que
et telle
que les valeurs correspondantes de
et de
satisfassent à la
relation
![{\displaystyle m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546b68cbd9e9f0642c03f382f869ce52a12cabb6)
où
et
sont deux entiers premiers entre eux.
La courbe
![{\displaystyle x_{1}=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f870c207369a9846cb8c318021566ecaa9d0858)
qui est une circonférence, sera une courbe invariante pour ![{\displaystyle \mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1fbd9b60e51f99639d432b9b86c1f1f486e1b2)