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CHAPITRE XXVIII.

toutes les quantités

$\mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)$

soient de même signe.

Je n’insiste pas d’ailleurs sur ce point, car, dans le cas du problème des trois corps, ou bien nous aurons affaire au problème restreint du n^o 9, ou bien nous pourrons diminuer le nombre des degrés de liberté en employant les procédés des n^os 15 et 16.

Or, dans le cas des problèmes réduits des n^os 9, 15 et 16, il n’y a plus qu’une seule intégrale uniforme, celle des forces vives, et il n’y a que deux exposants nuls, comme nous l’avons vu au n^o 78.

Solutions du deuxième genre des équations de la Dynamique.

328.Changeons $\mathrm {T}$ successivement en $2\mathrm {T} ,$ $3\mathrm {T} ,\ldots ,$ $m\mathrm {T} ,\ldots \,;$ la fonction $\mathrm {S}$ définie plus haut dépend de $\mathrm {T} ,$ soit

$\mathrm {S} _{m}=\mathrm {S} (m\mathrm {T} ).$

Cherchons les maxima et les minima de $\mathrm {S} _{m}$ en regardant $\mathrm {T}$ comme une constante.

Si nous envisageons une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ ce sera également une solution périodique de période $m\mathrm {T} .$ Donc, les dérivées premières de $\mathrm {S} _{m}$ sont nulles.

Pour qu’il y ait maximum ou minimum, il faut d’abord que tous les exposants $\alpha _{k}$ soient purement imaginaires.

Si ensuite toutes les quantités

(1)

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

sont négatives, il y aura maximum ; si elles sont toutes positives, il y aura minimum.

Voici le premier point sur lequel je voulais attirer l’attention.

Si nous donnons à l’entier $m$ toutes les valeurs entières possibles, les $n-1$ quantités (1) présenteront, en général, toutes les combinaisons de signes possibles.

Posons, en effet, pour abréger,

${\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}=\omega _{k},$