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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

considérées dépendent d’un paramètre arbitraire $\mu ,$ ainsi que cela arrive, comme nous le savons, pour le problème des trois corps.

Quand nous ferons varier $\mu$ d’une manière continue, la solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}$

variera aussi d’une manière continue, ainsi que l’on peut s’en rendre compte par la lecture du Chapitre III.

Les quantités $\mathrm {M} _{k}$ varieront aussi d’une manière continue, mais, ainsi qu’il a été expliqué au n^o 323, elles ne pourront jamais s’annuler ; elles conserveront donc toujours le même signe ; or, c’est leur signe seul qui nous intéresse.

La constante des forces vives sera regardée comme une des données de la question, mais cette donnée pourra dépendre de $\mu$ et nous la choisirons de telle façon que la période $\mathrm {T}$ de la solution périodique demeure constante.

Les exposants $\alpha _{k}$ varieront aussi d’une manière continue quand on fera varier $\mu$ d’une manière continue ; voyons un peu comment se fait cette variation dans le cas du problème des trois corps. Pour $\mu =0,$ tous les exposants sont nuls ; mais, dès que $\mu$ cesse d’être nul, les exposants cessent aussi de l’être ; un de ces exposants ne pourra s’annuler, ou devenir égal à un multiple de ${\frac {2\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }},$ ou devenir égal à un autre exposant caractéristique que pour certaines valeurs particulières de $\mu .$

330.Envisageons une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ telle que tous les exposants $\alpha _{k}$ soient purement imaginaires ; c’est ce que nous avons appelé plus haut une solution stable ; nous avons démontré aux Chapitres III et IV l’existence de ces solutions.

Considérons l’un des exposants, $\alpha _{1}$ par exemple ; quand $\mu$ variera d’une manière continue, ${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}},$ qui est réel, deviendra une infinité de fois commensurable avec ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}.$ Donnons à $\mu$ une valeur $\mu _{0}$ telle que

${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {2k\pi }{p\mathrm {T} }},$