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INVARIANTS INTÉGRAUX.
Elle devra donc satisfaire à certaines « conditions d’intégrabilité »
analogues à celles qui expriment qu’une différentielle
totale du premier ordre est une différentielle exacte.
Considérons maintenant une variété
de
dimensions, mais
non fermée et limitée par une variété
de
dimensions qui
lui servira de frontière.
L’intégrale (1), étendue à la variété
ne sera pas nulle, mais si
on la calcule pour d’autres variétés analogues
etc., ayant
même frontière
, on trouvera la même valeur, c’est-à-dire que
la valeur de l’intégrale (1) ne dépend que de la frontière
Elle est égale à une intégrale d’ordre p-1,
(2)
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étendue à la variété
et où
désigne un produit quelconque
de
différentielles pendant que
est une fonction des
de
et de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Cette intégrale (2) est évidemment une fonction de
dépendant
en outre de la variété
Considérons sa dérivée par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \sum {\frac {d\mathrm {C} }{dt}}\,d\omega ''=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} '(z+t)\,d\omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940aae2f178e2ad01d890755d9258b1cd59ae4b1)
Cette dérivée, comme le montre sa dernière expression, ne change
pas quand on y change
en
et quand, en même temps, on
transforme
(ou
) en y changeant partout
en ![{\displaystyle z+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddfd93b8a8e2c5487da9b64c7c6fa708b46e6a4)
On en conclut que
est de la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} (z+t)\,d\omega ''-\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} (z)\,d\omega '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17946e92122a23e32a597df55dd4cd7bf25b5dad)
étant une fonction de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
L’intégrale
(3)
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est d’ordre
mais on peut la transformer facilement en une
intégrale d’ordre
il suffit d’appliquer la transformation qui,
dans le no 238, nous a permis de passer de l’intégrale (3) à l’inté-