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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

et nous avons trouvé les conditions

${\begin{array}{c}\mathrm {F} (\pi )f'(\pi )-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=1,\\[0.75ex]\mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi .\end{array}}$

Je renvoie maintenant à la figure de la page 243 (Tome II) où, regardant $q$ et $q_{1}$ comme les coordonnées rectangulaires d’un point, nous avons séparé les régions correspondant aux solutions stables de celles qui correspondent aux solutions instables. Ces dernières sont représentées couvertes de hachures.

Ces diverses régions sont séparées les unes des autres par quatre courbes analytiques dont j’ai donné les équations page 241 (Tome II).

Voici ces équations

(α) 	$\mathrm {F} (\pi )=\quad 1,$	$\mathrm {F} '(\pi )=0,$
(β)	$\mathrm {F} (\pi )=\quad 1,$	$f\,(\pi )=0,$
(γ)	$\mathrm {F} (\pi )=\;-1,$	$\mathrm {F} '(\pi )=0,$
(δ)	$\mathrm {F} (\pi )=\;-1,$	$f\,(\pi )=0.$

À quelle catégorie appartiennent les solutions instables qui correspondent à nos régions couvertes de hachures ? Il est clair d’abord que les solutions instables qui correspondent à l’une de ces régions sont toute de la même catégorie. Cela résulte immédiatement de ce qui précède.

Or, en un point de l’une des courbes (β) et (δ), la fonction $\mathrm {G}$ se réduit à $f(t)$ et cette fonction peut s’annuler puisqu’elle est impaire. Donc, si une région est limitée par un arc de l’une des courbes (β) et (δ), les solutions correspondantes seront de la seconde catégorie.

Mais il en est ainsi de toutes nos régions. Donc toutes nos solutions instables sont de la seconde catégorie.

Il est aisé de transformer notre exemple de telle façon que l’on ait des solutions des deux catégories. Il suffit de remplacer $q^{2}$ par $q$ de façon que ce coefficient puisse devenir négatif.

Notre équation (3) s’écrit alors

(3 bis)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q+q_{1}\cos 2t\right).$