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CHAPITRE XXIX.

Prenons toujours $q$ et $q_{1}$ pour coordonnées rectangulaires et construisons une figure analogue à celle de la page 241. La partie de la figure située à droite de l’axe des $q_{1}$ du côté des $q$ positifs sera analogue à la figure de la page 241. Mais nous aurons à gauche de l’axe des $q_{1},$ du côté des $q$ négatifs, une région couverte de hachures, limitée par une espèce de parabole tangente à l’axe des $q_{1}.$

Les régions hachées de droite correspondront, nous venons de le voir, à des solutions de la seconde catégorie ; mais il n’en sera pas de même de la région hachée de gauche.

Il suffit pour s’en convaincre de faire $q_{1}=0,$ d’où

$x=e^{t{\sqrt {-q}}}\,;\qquad \alpha ={\sqrt {-q}}\,;\qquad \mathrm {G} =1.$

353.Je n’ai encore fait la discussion que dans un cas particulier. Pour l’étendre au cas général, je vais montrer qu’on est toujours amené à une équation de même forme que l’équation (2) du numéro précédent.

Considérons d’abord le cas du mouvement absolu ; si $\mathrm {U}$ est la fonction des forces et si $x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes d’un point dans un plan, les équations du mouvement s’écriront

(1)

${\begin{aligned}x''&={\frac {d\mathrm {U} }{dx}},&y''&={\frac {d\mathrm {U} }{dy}},\end{aligned}}$

et les équations aux variations

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\xi ''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}\,\xi &{}+{}&{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,\eta ,\\\eta ''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,\xi &{}+{}&{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dy^{2}}}\,\eta .\end{alignedat}}\right.$

Je représente pour plus de brièveté par des accents les dérivations par rapport à $t.$ Ainsi $\xi ''$ représente ici ${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}$ et non plus, comme dans le n^o 341, la valeur de $\xi$ pour $t=t''.$

L’intégrale des forces vives s’écrira

${\frac {x'^{2}+y'^{2}}{2}}=\mathrm {U} +h,$