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CHAPITRE XXX.

Le second membre est, en effet, un ensemble de termes de la forme

$\mathrm {A} e^{im_{1}y_{2}+m_{2}v},$

$m_{1}$ et $m_{2}$ étant entiers ; et l’intégration se fait sans obstacle, pourvu que l’on n’ait pas

$im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.$

Or, comme $2\mathrm {B}$ est égal à $in,$ $n$ étant un nombre commensurable dont le dénominateur est égal à $k+2,$ le second membre de notre équation contiendra des termes satisfaisant à cette condition. Il en résulte que $\mathrm {S} _{k}$ ne sera pas une fonction périodique de $y_{2}$ et $v,$ mais pourra être égalé à

$\mathrm {T} _{k}-y_{2}\mathrm {U} _{k},$

$\mathrm {T} _{k}$ et $\mathrm {U} _{k}$ étant périodiques.

Ayant ainsi déterminé la fonction $\mathrm {S}$ et poussé l’approximation aux quantités près de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1},$ on peut employer le procédé du n^o 275 et déterminer ainsi $x_{1},\,y_{1},$ $x_{2},\,y_{2}.$

Ces deux modes de calcul doivent conduire au même résultat. Soit donc

$\Sigma =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\mathrm {S} _{k}.$

Construisons les équations (Cf. p. 99)

${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\Sigma }{dy_{2}}},&u&={\frac {d\Sigma }{dv}},&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\Sigma }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\Sigma }{d\beta _{0}}},\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\;\end{aligned}}$

et tirons-en $x_{2}$ en fonction de $t\,;$ la valeur de $x_{2}$ ainsi trouvée devra être égale à

$\xi _{0}+\varepsilon \xi _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\xi _{k}$

aux quantités près de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1}.$

Ce qui nous intéresse, c’est le calcul de $\xi _{k}$ et, en particulier, celui du terme séculaire

$t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot$

Ce terme séculaire ne peut provenir que du terme séculaire de $\mathrm {S} _{k},$ qui est égal à $y_{2}\mathrm {U} _{k}.$