Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/34

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deux invariants intégraux du premier ordre; je suppose, ce qui est le cas le plus général, que F, et F2 sont des fonctions linéaires et homogènes des différentielles dxi. Les expressions F1(i), F2(i) seront homogènes et du premier ordre par rapport aux i et ce seront des intégrales des équations (2). De même seront des intégrales des équations (6). Il en résulte que sera une intégrale du système (6). Comme F, et F2 sont linéaires par rapport aux i, on aura Il en résulte que l'expression ([0), qui d'ailleurs change de signe quand on permute les et les ne change pas quand on change i en ;i + ~'i. Nous en conclurons que cette expression (10) est une fonction linéaire et homogène des déterminants les coefficients dépendant des x seulement, mais non des ç et des £'. De cette expression (10) on pourra donc déduire un invariant intégral du deuxième ordre des équations (1). Soient maintenant F1(dxi), J F2(dxidxk), deux invariants intégraux des équations (1), le premier du premier ordre et le second du deuxième ordre. Je supposerai que F1 et F2 sont des fonctions linéaires et homogènes, la première par rap- port aux n différentielles dxi, la seconde par rapport aux ——- —- produits dxi dxk.