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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

et que $\omega$ varie de $0$ à $2\pi$ quand on fait le tour de cette trajectoire fermée. Les courbes $\rho =\mathrm {const.}$ sont alors des courbes fermées s’enveloppant mutuellement à la façon de cercles concentriques, et les courbes $\omega =\mathrm {const.}$ forment un faisceau de courbes divergentes qui viennent couper toutes les courbes $\rho =\mathrm {const.} \,;$ et de telle façon que la courbe $\omega =a+2\pi$ coïncide avec la courbe $\omega =a.$

Soit alors $\omega _{0}$ la valeur de $\omega$ qui correspond au point de départ $\mathrm {M} \,;$ la valeur de $\omega$ qui correspondra à ce même point $\mathrm {M} ,$ considéré comme le $n$^ième foyer du point de départ, sera

$\omega _{0}+2(k+2)\pi .$

Soit

$\rho =1+\psi (\omega )$

l’équation d’une trajectoire $(\mathrm {T} '),$ voisine de $(\mathrm {T} )$ et passant par $\mathrm {M} .$ La fonction $\psi (\omega )$ correspondra à la fonction $\psi (x_{2})$ du numéro précédent. Nous aurons $\psi (\omega _{0})=0$ et ce qu’il s’agit de discuter c’est le signe de

$\psi \left[\omega _{0}+2(k+2)\pi )\right].$

Il s’agit donc de former la fonction $\psi (\omega )$ et pour cela nous n’avons qu’à appliquer, soit les principes du Chapitre VII, soit ceux du n^o 274. Si nous appliquons par exemple ces derniers, voici ce que nous trouverons : La fonction $\psi (\omega )$ est développable suivant les puissances des deux quantités

$\mathrm {A} e^{\alpha \omega },\quad \mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }.$

Les coefficients du développement sont des fonctions périodiques de période $2\pi \,;$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont deux constantes d’intégration ; quant à $\alpha ,$ c’est une constante qui est développable suivant les puissances du produit $\mathrm {AA} '$

$\alpha =\alpha _{0}+\alpha _{1}(\mathrm {AA} ')+\alpha _{2}(\mathrm {AA} ')^{2}+\ldots .$

D’ailleurs $\alpha _{0}$ est égal à l’exposant caractéristique de $(\mathrm {T} )$ c’est-à-dire à $in.$

Si $(\mathrm {T} ')$ diffère peu de $(\mathrm {T} ),$ les deux constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont très petites ; elles sont de l’ordre de l’angle que j’appelais $\alpha$ dans le