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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
et que
varie de
à
quand on fait le tour de cette trajectoire
fermée. Les courbes
sont alors des courbes fermées
s’enveloppant mutuellement à la façon de cercles concentriques,
et les courbes
forment un faisceau de courbes divergentes
qui viennent couper toutes les courbes
et
de telle façon que la courbe
coïncide avec la
courbe ![{\displaystyle \omega =a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93985ba91a9aa7b9fd1b2a2e43cf64d496190e60)
Soit alors
la valeur de
qui correspond au point de
départ
la valeur de
qui correspondra à ce même point
considéré comme le
ième foyer du point de départ, sera
![{\displaystyle \omega _{0}+2(k+2)\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05212214d461f3a71b0ec365ab9df846d7d92bde)
Soit
![{\displaystyle \rho =1+\psi (\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603f32b599b9837abdffca4e250d1ebb3d026048)
l’équation d’une trajectoire
voisine de
et passant par
La fonction
correspondra à la fonction
du numéro
précédent. Nous aurons
et ce qu’il s’agit de discuter
c’est le signe de
![{\displaystyle \psi \left[\omega _{0}+2(k+2)\pi )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923c14515019f0d977833d6cf96fceae5f88341e)
Il s’agit donc de former la fonction
et pour cela nous
n’avons qu’à appliquer, soit les principes du Chapitre VII, soit
ceux du no 274. Si nous appliquons par exemple ces derniers,
voici ce que nous trouverons : La fonction
est développable
suivant les puissances des deux quantités
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{\alpha \omega },\quad \mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee84dee1fb10cf87a77bb02567646c186323a0e)
Les coefficients du développement sont des fonctions périodiques
de période
et
sont deux constantes d’intégration ;
quant à
c’est une constante qui est développable suivant les
puissances du produit
![{\displaystyle \alpha =\alpha _{0}+\alpha _{1}(\mathrm {AA} ')+\alpha _{2}(\mathrm {AA} ')^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73c10c5b754dac3eb1a099b4618629397769906)
D’ailleurs
est égal à l’exposant caractéristique de
c’est-à-dire
à
Si
diffère peu de
les deux constantes
et
sont très
petites ; elles sont de l’ordre de l’angle que j’appelais
dans le