Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/40

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Si d'ailleurs on pose on devra avoir Nous aurons là n équations linéaires d'où nous pourrons tirer les Mi pourvu que p ~5: n i. Or, d'après le n° 237, les ne dépendent que desy et pas dez;ilenestdoncdemêmedesMicequiveutdirequelesMi sont des intégrales des équations (i). 251. Soit maintenant F(x1, X2, ..., xn ) une intégrale; il est clair que sera un invariant intégral du premier ordre. On peut alors se poser la question suivante : Considérons un invariant intégral du premier ordre A 1 dxi -+- A 2 dx2 -+-... + An dxn ) et supposons que la quantité sous le signe J soit une différentielle exacte; quelle relation y aura-t -il entre l'intégrale de cette diffé- rentielle exacte et les intégrales des équations (i)? Pour nous en rendre compte, faisons le changement de variables du n° 237 ; notre invariant deviendra dU= (B1d1 B2dY2 -4- Bn-1dyn-1+Cdz). Les B et C devront dépendre des y mais pas de z. Si cette expression dU est une différentielle exacte, la fonc- tion U devra donc être de la forme U = U0+zU1,