Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/43

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Si le mouvement de ce point est défini par les équations (1), t représentant le temps, ce point sera, à l'époque t = t, venu en M. Si le mouvement est au contraire défini par les équations (2), ti représentant le temps, le point Mo sera, à l'époque tx = 7, venu en M'. Considérons maintenant une figure F0 occupée à l'instant zéro par différents points M0. Si le mouvement et la déformation de cette figure sont définis par les équations (1), elle sera, à l'époque f = 7, devenue une figure nouvelle F. Si le mouvement est défini par les équations (2), la figure F0 sera, a l'époque t, = t, devenue une figure nouvelle F'différente de F. Et non seulement F' sera différente de F, mais elle ne coïncidera pas non plus, en général, avec une des positions occupées par F à une époque différente de l'époque t = t. Il semble donc que l'on ait profondément altéré les données du problème et l'on ne doit pas s'attendre à ce que des invariants de (1) on puisse déduire ceux de (2). C'est cependant ce qui arrive pour les invariants d'ordre n. Faisons le changement de variables du n° 237 ; le système (1) deviendra et le système (2) Z doit alors être supposé exprimé en fonctions des y eL de z. Posons alors l'intégration se faisant par rapport à z (les y étant regardés comme des constantes), et à partir d'une origine quelconque pouvant dépendre des y. Le système (2) deviendra et aura même forme que (1 bis).