Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/47

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La première de ces relations nous apprend que est une inté- grale des équations (i). 253 ter. Soit - const. une intégrale des équations (2 ) ; la fonction doit être une forme, c'est-à-dire un polynome entier et homogène par rapport aux dont les coefficients dépendent d'ailleurs des xt d'une façon quel- conque. Soit m le degré de ce polynome. L'expression (où n'est autre chose que où les ont été remplacés par les différentielles dxt), cette expression, dis-je, sera un invariant intégral des équations (1). Cela posé, soit 1 un invariant quelconque de la forme . Faisons le changement de variables dun° 237, les équations (1) deviendront eL, si l'on désigne par i et les variations àeyi et z, les équations aux variations de(I bis) se réduiront à Avec ces nouvelles variables, deviendra une forme entière, homogène et de degré m par rapport aux i et à ç; les coefficients peuvent être des fonctions quelconques des y,-, mais d'après le théorème du n° 237, puisque nous avons affaire à un invariant intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de z. Les xi sont des fonctions des y et de z, et l'on en déduit entre les variations les relations suivantes Les E sont donc des fonctions linéaires des et de et le détermi-