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FORMATION DES INVARIANTS.

numéro précédent, c’est-à-dire de la forme

$\int \mathrm {F} +t\int \mathrm {F} _{1}.$

Ces diverses sortes d’invariants correspondent aux diverses sortes d’intégrales des équations (2) et (2 a), à savoir :

Première sorte : intégrales linéaires par rapport aux $\xi \,;$

Deuxième sorte : intégrales quadratiques par rapport aux $\xi \,;$

Troisième sorte : intégrales linéaires par rapport aux déterminants $\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\,;$

Quatrième sorte : intégrales de la forme

$\mathrm {F} +t\,\mathrm {F} _{1},$

$\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ étant linéaires par rapport aux ξ.

Nous pouvons regarder comme extrêmement vraisemblable que toutes les solutions périodiques du Problème des trois Corps ne sont pas singulières.

Dans le Problème des trois Corps, Je nombre des degrés de liberté est six ; le nombre des exposants caractéristiques est douze ; d’après ce que nous avons vu au n^o 78, il y en a six et six seulement qui s’annulent ; les six autres sont deux à deux égaux et de signe contraire. Il y a donc six équations de la forme (10) et six polynômes $\mathrm {P} _{k}$ dont quatre de degré zéro et deux de degré un. Ou bien encore il y a trois couples d’équations de la forme (5 bis), (5 ter), quatre équations de la forme (10 bis), deux équations de la forme (10 ter).

Voyons donc combien il y aura au plus d’invariants de chaque sorte indépendants.

Je précise ce que j’entends par là ; je ne regarderai pas comme indépendants $n$ invariants de la première sorte

$\int \mathrm {F} _{1},\quad \int \mathrm {F} _{2},\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{n},$

ou $n$ invariants de la seconde sorte

$\int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}}},\quad \int {\sqrt {\mathrm {F} _{2}}},\quad \ldots ,\quad \int {\sqrt {\mathrm {F} _{n}}},$

ou $n$ invariants de la troisième sorte

$\iint \mathrm {F} _{1},\quad \iint \mathrm {F} _{2},\quad \ldots ,\quad \iint \mathrm {F} _{n},$