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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

pas admettre que la vitesse de propagation des rayons longitudinaux soit nulle ; elle ne peut non plus être réelle, sans quoi une portion de la force vive due à la lumière incidente serait absorbée par ces ondes longitudinales et l’expérience n’indique aucune trace d’une semblable perte de force vive.

Nous sommes donc conduits à supposer que cette vitesse de propagation est imaginaire ; elle sera par exemple $i\varepsilon$ dans le premier milieu et $i\varepsilon '$ dans le second. D’ailleurs $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ seront très petits. De cette façon les rayons longitudinaux seront évanescents (53) et n’absorberont pas de force vive.

Soient $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1}$ les composantes du déplacement dû aux vibrations transversales, $\xi _{2},\,\eta _{2},\,\zeta _{2}$ les composantes du déplacement dû aux vibrations longitudinales, on aura :

$\xi =\xi _{1}+\xi _{2},\qquad \eta =\eta _{1}+\eta _{2},\qquad \zeta =\zeta _{1}+\zeta _{2},$

Cherchons à satisfaire aux conditions en posant comme plus haut (210)

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\mathrm {X} _{1}e^{i(ax+bt)},&\eta _{1}&=\mathrm {Y} _{1}e^{i(ax+bt)},&\zeta _{1}&=\mathrm {Z} _{1}e^{i(ax+bt)}\\[1ex]\xi _{2}&=\mathrm {X} _{2}e^{i(ax+bt)},&\eta _{2}&=\mathrm {Y} _{2}e^{i(ax+bt)},&\zeta _{2}&=\mathrm {Z} _{2}e^{i(ax+bt)}\\\end{aligned}}$

les $\mathrm {X} ,$ les $\mathrm {Y}$ et les $\mathrm {Z}$ étant des fonctions de $z$ seulement.

Nous aurons, dans le premier milieu, c’est-à-dire pour $z<0,$

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{2}&=\mathrm {A} e^{+hz},&\mathrm {Y} _{2}&=\mathrm {B} e^{+hz},&\mathrm {Z} _{2}&=\mathrm {C} e^{+hz}\,;\end{aligned}}$

et dans le second milieu, c’est-à-dire pour $z>0$

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{2}&=\mathrm {A} 'e^{-h'z},&\mathrm {Y} _{2}&=\mathrm {B} 'e^{-h'z},&\mathrm {Z} _{2}&=\mathrm {C} 'e^{-h'z}.\end{aligned}}$