segments et des angles est possible, c’est-à-dire que l’on peut, dans la Géométrie assignée, résoudre les problèmes suivants
Problème III. — Porter sur un segment donné à partir d’un point donné un segment donné.
Problème IV. — Porter un angle donné le long d’une droite donnée, c’est-à-dire construire une droite coupant une droite donnée sous un angle donné.
Il n’est possible de résoudre aucun nouveau problème en se basant sur les axiomes des groupes II et V ; et l’on voit ainsi qu’en employant exclusivement les axiomes I-V on peut résoudre tous les problèmes de construction qui sont réductibles aux problèmes I-IV, et ceux-là seuls.
Aux problèmes fondamentaux I-IV nous adjoindrons encore le suivant :
Problème V. — Élever une perpendiculaire à une droite donnée.
Nous voyons immédiatement que ce problème V peut être résolu de diverses manières au moyen des problèmes I-IV.
Pour résoudre le problème I, nous avons besoin de la règle. Un instrument servant à résoudre le problème III, c’est-à-dire à transporter un segment sur une droite donnée, nous le nommerons un transporteur de segments. Nous nous proposons maintenant de démontrer que les problèmes II, IV et V peuvent être ramenés à la résolution des problèmes I et III et que les problèmes I-V sont tout résolubles uniquement au moyen de la règle et du transporteur de segments. Nous arriverons donc au résultat suivant
Théorème XL. — Les problèmes de constructions géométriques qui sont résolubles en employant exclusivement les axiomes I-V sont nécessairement possibles à résoudre uniquement au moyen de la règle et du transporteur de segments.
Démonstration. Pour ramener le problëme II aux problèmes I et III joignons le point donné P (fig. 48) à un point A quelconque de la droite donnée et prolongeons PA au delà de A d’une longueur AC égale à PA. Joignons alors C à un point quelconque B de la droite donnée et
