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de ces points nous composerons un domaine $R$ ; ce domaine contient certains nombres réels et certains paramètres arbitraires $p$. Considérons alors l’ensemble de tous les points susceptibles d’être construits en tirant des droites et en transportant des segments déterminés au moyen du système assigné de points. Le domaine formé par les coordonnées de ces points sera nommé $\Omega (R)\,;$ ce domaine renferme certains nombres réels et certaines fonctions des paramètres arbitraires

Nos considérations du § 17 montrent que le tracé de droites et de parallèles revient analytiquement à l’application de l’addition, multiplication, soustraction ou division de segments. Ensuite la formule connue relative à une rotation, exposée au § 9, enseigne que le transport de segments sur une droite quelconque ne nécessite aucune opération analytique autre que l’extraction de la racine carrée d’une somme de deux carrés dont on a déjà construit les bases. Réciproquement, on peut toujours, d’après le théorème de Pythagore et au moyen d’un triangle rectangle, construire la racine carrée d’une somme de deux carrés segmentaires en transportant simplement des segments.

De ces considérations résulte que le domaine $\Omega (R)$ renferme les nombres réels et les fonctions des paramètres $p$, et ceux-là seulement qui proviennent des nombres et paramètres de $R$ au moyen d’un nombre fini d’applications des cinq opérations, a savoir les quatre opérations élémentaires auxquelles nous ajouterons, comme cinquième opération, l’extraction de la racine carrée d’une somme de deux carrés. Nous énoncerons ce résultat ainsi

Théorème XLI. — Un problème de construction géométrique est résoluble par le tracé de droites et le transport de segments, c’est-à-dire au moyen de la règle et du transporteur de segments, au seul et unique cas où, dans la solution analytique du problème, les points cherchés sont des fonctions des coordonnées des points donnés dont l’expression n’exige que des opérations rationnelles et de plus l’opération de l’extraction de la racine carrée d’une somme de deux carrés.

Ce théorème nous montre immédiatement que tout problème résoluble à l’aide du compas ne l’est pas forcément quand on ne se sert que de la règle et du transporteur de segments. Pour le voir, considérons