une Géométrie plane où les axiomes I, 1-2 ; II-III sont vérifiés ainsi que le théorème de Desargues.
Avant tout, nous voulons démontrer que, pour l’addition des segments définie au § 24, la loi commutative
est vérifiée. Soit
conformément à nos conventions, AA’et BB’ seront alors parallèles à la droite-unité ; construisons ensuite les points A" et B" en menant
A’A" ainsi que B’B" parallèles à OA, et, pareillement, AB" et BA" parallèles à OA’. On voit de suite que notre affirmation revient à dire que la ligne A"B" est parallèle a AA’. Nous en reconnaissons l’exactitude en invoquant comme il suit le théorème de Desargues (théorème XXXII) :
Désignons le point d’intersection de AB" et A’A" par F, et celui de BA" et B’B" par D (fig. 41) : dans les triangles AA’F et BB’D les côtés
homologues sont parallèles. En vertu du théorème de Desargues, nous
en concluons que les trois points O, F, D sont en ligne droite. Par conséquent, les deux triangles OAA’ et DB"A" sont placés d’une manière telle que les droites qui joignent leurs sommets homologues passent par le même point F, et comme, en outre, deux couples de côtés homologues, à savoir OA et DB" ainsi que OA’ et DA" sont parallèles, la deuxième partie du théorème de Desargues (théorème XXXII) nous dit que les troisièmes côtés AA’ et B"A" sont également parallèles.
