Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/81

nous avons faits à cet endroit montrent que l’on doit avoir

F’F" parallèle à H₁H₂,

et que, par suite, l’on a nécessairement aussi

F'F" parallèle à A'A",

ce qui fournit la démonstration complète de notre affirmation.

Pour démontrer la seconde formule de la loi distributive, nous emploierons la fig. 45 toute différente. Dans cette figure, on a fait

t = OD, a = OA, a=OB, b = OG, c = OD’,

ac = OA', ac = OB', bc = OG'

et ainsi de suite, et l’on a

GH parallèle à G'H', parallèle à la droite fixe OA

AH parallèle à A'H', parallèle à la droite fixe OB

et enfin

AB parallèle à A'B',

BD parallèle à B'D',

DG parallèle à D'G',

HJ parallèle à H'J',

Ce que nous avons affirmé revient à dire que l’on doit avoir nécessairement

DJ parallèle à D'J',

Désignons les points respectifs où BD et GD coupent la droite AH par C et F, et les points respectifs où B’D’ et G’D’ coupent la droite A’H’ par C’ et F’; enfin, menons les lignes auxiliaires FJ et F’J’ qui sont tracées en pointillé sur la fig. 45.

Dans les triangles ABC, A’B’C’ les côtés homologues sont parallèles ; par conséquent, en vertu du théorème de Desargues, les trois points O, C, C’ sont en ligne droite. De même, la considération des triangles CDF et C’D’F’ fait voir que O, F, F’ sont en ligne droite, et celle des triangles FGH et F’G’H’ nous fait aussi voir que O, H, H’ sont également en ligne droite. Maintenant dans les triangles FHJ et F’H’J' les droites qui joignent les sommets homologues passent par le même point O et,