du troisième ordre, qui sera le résultat de l’élimination de
au moyen des trois équations précédentes, combinées avec l’équation tierce (no 46, Ire Partie)
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0c50119b0d2f5d7564a67c3561abc073d0df7e)
par conséquent, on aura nécessairement
![{\displaystyle \mathrm {P'=MV,\quad Q'=NV,\quad R'=LV} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf74aeb74eff3e471922d8e83e12051c9534868)
étant des fonctions de
et
sans
de sorte qu’en prenant les fonctions primes de l’équation
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602acc4a046576012a9fc803fbcb53a27bf4272c)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P'\varphi '(P)+Q'\varphi '(Q)+R'\varphi '(R)=0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb89778699e3f3c30a91dae3d346a544874f577d)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {V\left[M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)\right]} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b99bfe6d23da709a90232716f80823b7879aeb)
équation qui se partage naturellement dans ces deux-ci,
![{\displaystyle \mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a3b8c099c23896e170b3f0d9091d64d68f7843)
dont la première est du troisième ordre et dont la seconde n’est que du second.
L’équation
a, comme nous l’avons déjà vu, pour équation primitive complète l’équation même
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20b3d27ad28c3a0ed031005bfa3ec41ee276dec)
de la courbe du contact, dans laquelle
sont les trois constantes arbitraires ; mais, comme l’équation du problème
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915367263f35fb16fe7a945ba8ee76eed80c9b0c)
n’est que du second ordre, il doit y avoir une relation entre ces trois constantes qui les réduise à deux arbitraires, et cette relation est donnée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac2f886c15b87ada1742c1416fc6f23d1c46fec)
qui résulte de la précédente, en substituant les valeurs de
tirées des équations
![{\displaystyle c=\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4870235e79921867839fe15556c566c4c927595c)