L’autre équation étant du second ordre, on pourra, par son moyen, éliminer la fonction
de l’équation
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602acc4a046576012a9fc803fbcb53a27bf4272c)
et la résultante sera une équation primitive de celle-ci du premier ordre, mais qui ne contiendra point de constante arbitraire. Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités
et
au moyen des équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836606dc2161dc66810ad01bcc7d19b60a15f2d5)
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb770f38ddc5c0009297ba653d77fc0bd87c7f4f)
Or, en regardant
comme des fonctions de
la fonction prime de
sera
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039ac662e4567c9004eb4f0b31278768b803e464)
en dénotant simplement par
les fonctions primes de
prises relativement à
regardées comme seules variables ; donc les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9123b5659c46b6e4528e96d7055ec01683c602a7)
emporteront celle-ci :
![{\displaystyle a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f845edbeb9a19e9d73a02e9b31ce495622003d9c)
De plus, la fonction prime de
sera, par la même raison,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,a,b,c)''+a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c831097ba1e895e5b03b1075f7e46da7327b547)
en dénotant de même par
les fonctions primes de
prises relativement à
regardées comme seules variables ; et, comme dans la formation de ces fonctions dérivées on regarde les quantités
comme indépendantes de
et
il est aisé de prouver, par les principes établis dans la Ire Partie (no 74), que les fonctions ![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)',\operatorname {F} '(b)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764cb627707dcd1139202426805928e08062016b)
seront la même chose que les fonctions