égale à
parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique ; mais dans l’Analyse on préfère, comme plus simple, le système dont la base est le nombre
c’est le système des logarithmes de Neper, qu’on nomme communément logarithmes hyperboliques, parce qu’ils sont représentés par l’aire de l’hyperbole équilatère entre ses asymptotes, et on les désigne par la simple caractéristique
Ainsi on a
par conséquent, la fonction prime de la fonction
est exprimée par
(numéro précédent).
Au reste, comme
on aura
et par conséquent
moyennant quoi on peut réduire toutes les exponentielles à la même base
.
13. Soit donc, en troisième lieu,
on aura, par la nature des logarithmes,
Or,
devenant
devient
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2427698535175e343f7dba46dd1c332578e604ab)
Faisant, pour abréger,
l’équation
deviendra, en y mettant
pour
et
pour ![{\displaystyle f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10535d1a7a971ffeeb216605cb846099fab2e653)
![{\displaystyle x+i=a^{f(x)+o}=a^{f(x)}.a^{o},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18d75303de6a78f7813d9b8db13fb793bb81811)
et, divisant cette équation par la précédente, on aura
![{\displaystyle 1+{\frac {i}{x}}=a^{o}=1+\mathrm {A} o+{\frac {\mathrm {A} ^{2}o^{2}}{2}}+\ldots \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dae3c7097809a79794490079ad5e6f66e62262)
(numéro précédent).
Effaçant l’unité de part et d’autre, et divisant par
après avoir substitué la valeur de
on aura, en ordonnant suivant les puissances de ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x)+{\frac {i}{2}}\left[\mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)\right]+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c06298ba2581e6aeeb8a38fc60c4c341924f09)
La quantité
étant et devant demeurer indéterminée, il faudra que cette équation se vérifie indépendamment de cette quantité ; par conséquent, tous les termes affectés d’une même puissance de
devront