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Pour les équations d’un ordre supérieur au premier, il n’y a pas de méthode générale pour trouver les valeurs de $p,q,\ldots ,$ à moins que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ ne soient constants. Mais, dans ce cas, il est aisé de les trouver, car il n’y a qu’à supposer $p=e^{mx},$ $m$ étant une constante indéterminée ; on aura

$p'=me^{mx},\quad p''=m^{2}e^{mx},\quad \ldots \,;$

donc l’équation

$\mathrm {A} p+\mathrm {B} p'+\mathrm {C} p''+\mathrm {D} p'''+\ldots =0$

deviendra

$\mathrm {A} +\mathrm {B} m+\mathrm {C} m^{2}+\mathrm {D} m^{3}+\ldots =0,$

laquelle sera, généralement parlant, d’un degré égal à l’ordre de l’équation proposée. Elle aura donc autant de racines qu’il y a d’unités dans ce degré, et, si l’on désigne ces racines par $m,n,\ldots ,$ on aura

$p=e^{mx},\quad q=e^{nx},\quad \ldots ,$

de sorte que, dans ce cas, la difficulté est réduite à la résolution des équations.

56. On peut souvent rendre linéaires des équations qui ne le sont pas, par le moyen des substitutions, et, comme cette transformation est toujours avantageuse, voici deux cas très-étendus où elle réussit.

Le premier est celui de l’équation

$y=xf(y')+\operatorname {F} (y'),$

qui est plus générale que celle que nous avons traitée ci-dessus (n^o 54). J’en prends d’abord les fonctions primes ; j’ai

$y'=xy''f'(y')+f(y')+y''\operatorname {F'} (y')\,;$

je fais $y'=z,$ et par conséquent $y''=z'\,;$ j’ai

$z=xz'f'(z)+f(z)+z'\operatorname {F} '(z),$

équation du premier ordre en $x$ et $z,$ où $z$ est censé fonction de $x.$