Maintenant je regarde
comme une fonction de
il faudra mettre
à la place de
(no 50), et il viendra l’équation
![{\displaystyle xf'(z)+\left[f(z)-z\right]x'+\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3e41f02f9ae352958efdbbfdeaf5d3854d1dca)
qui est, comme l’on voit, du premier ordre et linéaire en
On pourra donc, par la méthode précédente, en trouver l’équation primitive en
et
mais la proposée, par la substitution de
au lieu de
devient
![{\displaystyle y=xf(z)+\operatorname {F} (z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8cb20c14977f4ee18fad566233c0073a898891)
éliminant donc
de ces deux équations, on aura une équation en
et
qui sera l’équation primitive de l’équation proposée.
Le second cas est celui de l’équation
![{\displaystyle y'+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9e34b74683457ac08c88ebe0188e062817ba50)
et
étant des fonctions
Ici je fais
ce qui donne
![{\displaystyle y'={\frac {z''}{\mathrm {M} z}}-{\frac {z'^{2}}{\mathrm {M} z^{2}}}-{\frac {z'\mathrm {M} '}{\mathrm {M} ^{2}z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f234e80b9cbf543987d863b00e89ac2aef3fe04c)
substituant ces valeurs et multipliant par
l’équation devient
![{\displaystyle z''-{\frac {\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M} }}+\mathrm {MN} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f717f45d95dab3759eee0cce20de41972d206e)
qui est, comme l’on voit, du second ordre, mais linéaire par rapport à ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Supposons qu’on ait trouvé d’une manière quelconque deux valeurs particulières de
en
c’est-à-dire sans constante arbitraire, que nous dénoterons par
et
Pour la valeur
on aura
d’où l’on tire
en dénotant par
la fonction primitive de
on aura de même, pour la valeur
étant la fonction primitive de
Ayant ainsi deux valeurs particulières de
on aura la valeur complète (no 53)
![{\displaystyle z=ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bcbe0448b7bd442fba3382ae7101c5bba85bd2)