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n’y a pas de méthode qui réussisse à résoudre le problème : Par exemple, lorsqu’on dit (*^[1]) : « Un carré et deux racines 46sont égaux à deux en nombre et deux parties de carré, » alors c’est impossible à résoudre, parce que le carré est le second de ces degrés, et que la partie du carré est le sixième ; de sorte que la série s’étend à un intervalle de cinq degrés. Cela servira de règle pour les autres cas.

La totalité des équations simples, ayant lieu entre ces sept degrés, monte à vingt et une, deux desquelles ne peuvent être résolues au moyen de notre méthode, mais exigent la proposition auxiliaire d’Ibn Alhaïtham ; de sorte qu’il en reste dix-neuf espèces résolubles par notre méthode, les unes au moyen des propriétés du cercle, et les autres au moyen des propriétés des sections coniques. La totalité des équations composées à trois termes renfermant trois degrés successifs monte à quinze ; elles sont résolubles au moyen des propriétés du cercle. La totalité des équations composées à trois termes, qui constituent un intervalle de quatre degrés successifs quelconques, monte à vingt-quatre ; elles sont résolubles au moyen des propriétés des coniques. La totalité des équations composées à quatre termes renfermant quatre degrés successifs quelconques monte à vingt-huit, résolubles au moyen des sections coniques (**^[2]).

↑ *) $x^{2}+2x=2+2.{\tfrac {1}{x^{2}}}$ . C’est, en effet, une équation du quatrième degré ; mais les équations de ce degré du moins pouvaient encore être construites au moyen de deux coniques, ce que d’ailleurs d’autres géomètres arabes ont réellement reconnu (Voir l’addition D, second problème).
↑ **) Voici le tableau complet de toutes ces équations :

i. Équations simples.

Équations à termes entiers, n^o 1 à 6. $a=x$ , $a=x^{2}$ , $a=x^{3}$ , $bx=x^{2}$ , $bx=x^{3}$ , $cx^{2}=x^{2}$ .

Équations à termes fractionnaires.

${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{3}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x}}=a$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax^{2}$ ,

[1] *) $x^{2}+2x=2+2.{\tfrac {1}{x^{2}}}$ . C’est, en effet, une équation du quatrième degré ; mais les équations de ce degré du moins pouvaient encore être construites au moyen de deux coniques, ce que d’ailleurs d’autres géomètres arabes ont réellement reconnu (Voir l’addition D, second problème).

[p110-2] **) Voici le tableau complet de toutes ces équations :

i. Équations simples.

Équations à termes entiers, n^o 1 à 6. $a=x$ , $a=x^{2}$ , $a=x^{3}$ , $bx=x^{2}$ , $bx=x^{3}$ , $cx^{2}=x^{2}$ .

Équations à termes fractionnaires.

${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{3}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x}}=a$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax^{2}$ ,

[1]

[2]