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ligne AB (fig. 30), et prenons sur AB un segment BC égal au côté d’un cube qui est égal au nombre. La ligne BC sera, ou égale à CA, ou plus grande, ou plus petite que CA.

Il dit : Lorsque CA est égale à BC (fig. 30, 1), complétons le rectangle CE, et faisons passer par D une hyperbole ayant AB, BE pour asymptotes. Construisons aussi une parabole ayant son sommet au point A, son axe sur AB, et son paramètre égal à BC. Cette parabole passera infailliblement par le point D, comme nous l’avons démontré. Puis il dit que les deux coniques se touchent au point D. Mais c’est une erreur, parce qu’elles ont nécessairement une intersection. Démonstration. Faisons BZ égale à BA, et joignons AZ. Alors AZ passe infailliblement par D, et sera située (relativement à sa partie AD) dans l’intérieur de la parabole. L’angle ADB sera un angle droit, et l’angle ABD sera égal à l’angle ZBD. Or il est connu que l’axe de l’hyperbole divise en deux parties égales l’angle (des asymptotes) qui l’enveloppe. Conséquemment la ligne BDT est l’axe de l’hyperbole qui passe par D. Mais la ligne AD est parallèle 49aux ordonnées (de l’hyperbole) ; elle sera donc tangente à l’hyperbole. Il s’ensuit nécessairement que la parabole coupe l’hyperbole, ne pouvant être située entre l’hyperbole et la tangente à l’hyperbole ; parce que si la parabole touchait cette tangente à l’hyperbole, les droites menées du point D à un point quelconque pris sur la circonférence parabolique AD tomberaient entre la parabole et sa tangente, ce qui est absurde.

$AB=c$, ${\overline {\text{BC}}}^{3}=a$, $BC<AB$.
$BC<=>AC$, ou $\textstyle {{\sqrt[{3}]{a}}<=>{\tfrac {c}{2}}}$. — BCDE carré.
AB, BE, asymptotes d’une hyperbole équilatère qui passe par le point D.
A sommet, AB axe, BC paramètre d’une parabole.
1) $BC=AC$ (fig. 30, 1). La parabole passe par D (voir la note page 41), et les deux sections coniques se rencontrent en D, non par contact, mais par intersection.