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Il en résulte avec nécessité que la parabole coupe l’hyperbole encore dans un autre point situé entre A et D. Et c’est ce que nous nous proposions de démontrer. C’est ainsi que ce géomètre excellent s’est trompé en avançant que les deux coniques nécessairement ont un contact au point D.

Maintenant quant à ces mots : « Lorsque BC est plus grande que CA, le problème est impossible, parce que les deux coniques ne se rencontrent pas, » c’est une assertion erronée. Au contraire, les deux coniques peuvent très-bien se rencontrer, soit par intersection, soit par contact, en un seul point ou en deux points, situés entre A et D, ainsi que nous l’avons démontré ci-dessus. Et l’on peut en donner une démonstration plus générale que celle que nous avons proposée.

Que AB (fig. 30, 2) soit égale au nombre des carrés, et BC égale au côté du cube (qui est égal au nombre donné) et plus grande que la moitié de AB. Complétons CE, et décrivons les deux coniques de la manière qu’on sait. Supposons (*^[1]) AB égale à dix, et ZB égale à six. Le produit du carré de ZB en ZA sera cent quarante-quatre. Ce sera le nombre donné ; le

↑ *) ·2) $BC>AC$ ou $BC>{\tfrac {AB}{2}}$ (fig.30, 2). — Supposons $AB=c=10$ , $ZB=x=6$ ; de $x^{2}+a=cx^{2}$ il suit $a=x^{2}(c-x)={\overline {\text{ZB}}}^{2}.ZA=144$ ; $BC={\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{144}}>5$ , ou $BC>{\tfrac {AB}{2}}$ .
De ${\overline {\text{BC}}}^{3}={\overline {\text{ZB}}}^{2}.ZA$ il suit : l) ${\overline {\text{ZB}}}^{2}:{\overline {\text{BC}}}^{2}=BC:ZA$ .
Coupant l’hyperbole au point B par une perpendiculaire élevée au point Z, on aura rectangle HB égal au carré EC, donc 2) $ZB:BC=BC:ZH$
et 3) ${\overline {\text{ZB}}}^{2}:{\overline {\text{BC}}}^{2}=ZB:ZH$
De l) et 3) il suit 4) $ZB:BC=ZH:ZA$
de 2) et 4) 5) $BC:ZH=ZH:ZA$ ou ${\overline {\text{ZH}}}^{2}=BC.ZA$ ;
enfin de 4) et 5) $ZB:BC=BC:ZH=ZB:ZA$ .
Or, de ${\overline {\text{ZH}}}^{2}=BC.ZA$ il résulte que B est situé aussi aur la circonférence de la parabole, bien que nous ayons supposé $BC>{\tfrac {AB}{2}}$ ou $BC>AC$ . Conséquemment l’assertion d’Aboûl Djoûd qu’en ce cas les deux coniques ne se rencontrent pas, est erronée. — L’autre racine positive est, dans l’exemple présent, $x=2+{\sqrt[{}]{28}}$ .

[1] *) ·2) $BC>AC$ ou $BC>{\tfrac {AB}{2}}$ (fig.30, 2). — Supposons $AB=c=10$ , $ZB=x=6$ ; de $x^{2}+a=cx^{2}$ il suit $a=x^{2}(c-x)={\overline {\text{ZB}}}^{2}.ZA=144$ ; $BC={\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{144}}>5$ , ou $BC>{\tfrac {AB}{2}}$ .
De ${\overline {\text{BC}}}^{3}={\overline {\text{ZB}}}^{2}.ZA$ il suit : l) ${\overline {\text{ZB}}}^{2}:{\overline {\text{BC}}}^{2}=BC:ZA$ .
Coupant l’hyperbole au point B par une perpendiculaire élevée au point Z, on aura rectangle HB égal au carré EC, donc 2) $ZB:BC=BC:ZH$
et 3) ${\overline {\text{ZB}}}^{2}:{\overline {\text{BC}}}^{2}=ZB:ZH$
De l) et 3) il suit 4) $ZB:BC=ZH:ZA$
de 2) et 4) 5) $BC:ZH=ZH:ZA$ ou ${\overline {\text{ZH}}}^{2}=BC.ZA$ ;
enfin de 4) et 5) $ZB:BC=BC:ZH=ZB:ZA$ .
Or, de ${\overline {\text{ZH}}}^{2}=BC.ZA$ il résulte que B est situé aussi aur la circonférence de la parabole, bien que nous ayons supposé $BC>{\tfrac {AB}{2}}$ ou $BC>AC$ . Conséquemment l’assertion d’Aboûl Djoûd qu’en ce cas les deux coniques ne se rencontrent pas, est erronée. — L’autre racine positive est, dans l’exemple présent, $x=2+{\sqrt[{}]{28}}$ .

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