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côté (du cube qui lui est égal) sera BC, et BC sera infailliblement plus grand que cinq, parce que le cube de cinq est cent vingt-cinq. Or le solide ayant pour base le carré de ZB, et pour hauteur ZA, est égal au cube de BC. Conséquemment leurs bases sont réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs, c’est-à-dire le carré de ZB est au carré de BC comme BC à ZA. Menons de Z une perpendiculaire qui coupera l’hyperbole au point H, et complétons le rectangle HB. Le rectangle HB sera égal à CE. Conséquemment leurs côtés seront réciproquement proportionnels, c’est-à-dire ZB sera à BC comme BC à ZH. Donc le carré de ZB sera au carré de BC comme ZB à ZH. Mais on avait trouvé le 50carré de ZB au carré de BC comme BC à ZA ; par conséquent ZB à ZH comme BC à ZA, et alternando (*^[1]) ( ZB à BC comme ZH à ZA). Il en résulte que les quatre lignes ZB, BC, ZH, ZA sont en proportion continue, et que le carré de ZH est égal au produit de BC en ZA. Mais BC est le paramètre de la parabole dont AB est l’axe et A le sommet ; conséquemment ZH est ordonnée de cette parabole, et le point H sera alors infailliblement situé sur sa circonférence. Mais H était déjà situé sur la circonférence de l’hyperbole. Les deux coniques se rencontrent donc ; et l’erreur d’Aboûl Djoûd, lorsqu’il dit qu’elles ne se rencontrent pas, est évidente. Or, c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.

Afin d’éclaircir encore plus cette question, supposons(**^[2]) AB

↑ *) Voir Euclide, Éléments, liv. V, déf. 13.
↑ **) (Fig. 30, 2) $AB=c=80$ , $BC={\sqrt[{2}]{a}}=41$ , $AC=AB-BC=39,BC>AC$ .
CD = BC, donc ${\overline {\text{CD}}}^{2}>BC.AC$ ; conséquemment D est situé en dehors de la parabole.
${\overline {\text{LC}}}^{2}=BC.AC=1599$ , $LC={\sqrt[{}]{1599}}=40-s$ , ou $\epsilon <{\tfrac {1}{80}}$ .
$TC=BC=41$ , $AT=2$ ; $HB=BT$ ... HT tangente à l’hyperbole ;
$AK={\tfrac {AC}{4}}={\tfrac {39}{4}}=9{\tfrac {3}{4}}$ ; MK perpendiculaire à AK.
${\overline {\text{LC}}}^{2}:{\overline {\text{MK}}}^{2}=AC:AK=4$ , $MK={\tfrac {LC}{2}}=20-\epsilon$ ’, ou $\epsilon$ ’ $<{\tfrac {1}{160}}$ .

[1] *) Voir Euclide, Éléments, liv. V, déf. 13.

[p117-2] **) (Fig. 30, 2) $AB=c=80$ , $BC={\sqrt[{2}]{a}}=41$ , $AC=AB-BC=39,BC>AC$ .
CD = BC, donc ${\overline {\text{CD}}}^{2}>BC.AC$ ; conséquemment D est situé en dehors de la parabole.
${\overline {\text{LC}}}^{2}=BC.AC=1599$ , $LC={\sqrt[{}]{1599}}=40-s$ , ou $\epsilon <{\tfrac {1}{80}}$ .
$TC=BC=41$ , $AT=2$ ; $HB=BT$ ... HT tangente à l’hyperbole ;
$AK={\tfrac {AC}{4}}={\tfrac {39}{4}}=9{\tfrac {3}{4}}$ ; MK perpendiculaire à AK.
${\overline {\text{LC}}}^{2}:{\overline {\text{MK}}}^{2}=AC:AK=4$ , $MK={\tfrac {LC}{2}}=20-\epsilon$ ’, ou $\epsilon$ ’ $<{\tfrac {1}{160}}$ .

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