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${\frac {ED.DB}{ED.AD}}$ > ${\frac {ED.DB}{\overline {\text{BC}}}}$ ou ${\frac {BD}{DA}}$ > ${\frac {ED.DB}{\overline {\text{BC}}}}$

d’où il suit

${\frac {AB}{AD}}$ > ${\frac {ED.DB+{\overline {\text{BC}}}}{\overline {\text{BC}}}}$ égal ${\frac {\overline {\text{DC}}}{\overline {\text{BC}}}}$ (Eucl., Élém., II, 6) ;

donc

AB . ${\overline {\text{BC}}}$ > AD . DC, c. q. f. d.

Second cas. AB . BE = ${\overline {\text{BC}}}$² < AD . DE,

${\frac {BD.DE}{\overline {\text{BC}}}}$ > ${\frac {BD.DE}{AD.DE}}$ égal ${\frac {BD}{DA}}$ ; donc ${\frac {\overline {\text{BC}}}{BD.DE}}$ < ${\frac {AD}{DB}}$ ;

conséquemment

${\frac {\overline {\text{DC}}}{BD.DE}}$ < ${\frac {AB}{BD}}$ ou ${\frac {BD.DE}{\overline {\text{DC}}}}$ < ${\frac {BD}{BA}}$

d’où il suit

${\frac {\overline {\text{BC}}}{\overline {\text{DC}}}}$ > ${\frac {DA}{AB}}$ ou AB . ${\overline {\text{BC}}}$² > AD . ${\overline {\text{DC}}}$, c. q. f. d.

D

Problème résolu par Aboûl Djoûd Mohammed Ben Allaith, et proposé à ce géomètre par Aboûl Rîhàn Mohammed Ben Ahmed Albîroûnî (*^[1]).

Étant donnés une droite BC (fig. 38) et un point A, mener de A à BC une droite AD telle qu’on ait AD . BC + ${\overline {\text{BD}}}$ = ${\overline {\text{BC}}}$.

Aboûl Djoûd fait WB perpendiculaire et égale à BC, et construit une parabole dont W est le sommet, WB l’axe et BC le paramètre. Ensuite il abaisse de A sur BC une perpendiculaire AL, et fait passer par A une hyperbole équilatère ayant son sommet en A, son axe sur le prolongement de LA et son paramètre égal

1. *) Albîroûnî ramena à ce problème la trisection de l’angle ; voir p. 119, 1. 10.