est analogue à cela ; on suppose un carré égal a cinq de ses côtés.
Cinquième espèce. « Des choses sont égales à un cube (*[1]). » Si le problème est numérique, il est évident que cette espèce est équivalente à celle-ci : « un nombre est égal à un carré. » Par exemple : « quatre racines sont égales à un cube », est la même chose que si l’on disait : « quatre en nombre est égal à un carré, » vu l’existence de la proportionnalité mentionnée ci-dessus (**[2]).
Quant à la démonstration géométrique (***[3]), nous supposons un cube ABCDE (fig. 3) dont la mesure soit égale à quatre de 11ses côtés, et dont le côté soit AB. Alors son côté AB, multiplié par quatre, produira le cube ABCDE, et en même temps son côté, multiplié par son carré, c’est-à-dire par le carré AC, produit le cube ; donc le carré AC est égal à quatre.
Sixième espèce. « Des carrés sont égaux à un cube (****[4]). » Cela équivaut à : « un nombre est égal à une racine. »
La démonstration arithmétique consiste en ce que le nombre est à la racine comme des carrés sont au cube, ainsi que cela se trouve expliqué dans le huitième livre des Éléments(*****[5]).
- ↑ *) v, équivaut à
- ↑ **) Voir page 10. — J’ai dû conserver, ici et dans la suite, l’expression « en nombre », pour mieux rendre le sens du texte original. Voir la préface.
- ↑ ***) 4.
(carré (carré
donc (carré ou carré
- ↑ ****) vi, équivaut à
Démonst. donc dès que
- ↑ *****) Je ne saurais assigner aucune proposition du huitième livre que l’auteur eût ici pu avoir en vue. cela m’a fait penser que peut-être le texte portait originairement
« dans le onzième livre des Éléments », conjecture qui serait corroborée en quelque sorte par la leçon 
du manuscrit C. En effet, la proposition XI, 34, implique comme cas spécial le théorème qui serait l’expression géométrique de la démonstration dont il s’agit ici. Toutefois je considère cette supposition comme très-improbable, vu que l’auteur distingue toujours rigoureusement les démonstrations géométriques des démonstrations
