Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/93

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

- 62 -

38cas différents, et qu’une de ses formes rentre dans la troisième espèce ; mais l’espèce actuelle ne donne pas lieu à des problèmes impossibles (*^[1]). Sa solution a été effectuée au moyen des propriétés de deux hyperboles.

Seconde espèce des trois équations quadrinômes qui restaient. « Un cube et des côtés sont égaux à des carrés et des nombres (**^[2]). »

Faisons BC (fig. 28) égale au nombre donné des carrés, et BD égale au côté d’un carré égal au nombre des carrés et perpendiculaire à BC. Construisons un solide égal au nombre donné, et ayant pour base le carré de BD. Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera ou plus petite que BC, ou égale à BC, ou plus grande que BC.

Que d’abord S soit plus petite que BC (fig. 28, 1). Prenons sur BC un segment BA égal à S, complétons AD, décrivons sur AC comme diamètre un cercle AKC qui sera connu de position, et faisons passer par le point A une hyperbole ayant BD, DZ

la seconde hyperbole s’identifie avec ses asymptotes, et la première hyperbole se trouve combinée avec une droite passant par A, et renfermant avec AB un angle de 45 degrés.

↑ *) L’équation : $x^{3}+cx^{2}-bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive ; ses deux autres racines sont ou négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’auteur.
Les « différents cas » présentés par cette espèce sont $S<=>BC$ , c.-à-d. ${\tfrac {a}{b}}<=>c$ .
↑ **) xxiv, $x^{2}+bx=cx^{2}+a.BC=c$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S=a$ . $S<=>BC$
1) $S<BC$ (fig. 28, 1), $AB=8$ .
AC, diamètre du cercle AKC.
DB, DE, asymptotes de l’hyperbole équilatère HAT qui passe par le point A.
Hyperbole : $AD=KD$ , $AD-MZ+AK=KD-MZ+AK$ ou $BK=AL$
${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{LE}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}$
Cercle : ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}=EC:EA$
_________________________________
${\overline {\text{BD}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BE}}}^{2}.EC:EA$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}.EC$
${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BE}}}^{2}.EC={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC$
${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.BE=BC.{\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE=c.{\overline {\text{BE}}}^{2}+a$ , $x=BE$ .

[2] *) L’équation : $x^{3}+cx^{2}-bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive ; ses deux autres racines sont ou négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’auteur.
Les « différents cas » présentés par cette espèce sont $S<=>BC$ , c.-à-d. ${\tfrac {a}{b}}<=>c$ .

[3] **) xxiv, $x^{2}+bx=cx^{2}+a.BC=c$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S=a$ . $S<=>BC$
1) $S<BC$ (fig. 28, 1), $AB=8$ .
AC, diamètre du cercle AKC.
DB, DE, asymptotes de l’hyperbole équilatère HAT qui passe par le point A.
Hyperbole : $AD=KD$ , $AD-MZ+AK=KD-MZ+AK$ ou $BK=AL$
${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{LE}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}$
Cercle : ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}=EC:EA$
_________________________________
${\overline {\text{BD}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BE}}}^{2}.EC:EA$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}.EC$
${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BE}}}^{2}.EC={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC$
${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.BE=BC.{\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE=c.{\overline {\text{BE}}}^{2}+a$ , $x=BE$ .

[1]

[2]