En substituant ici la valeur (prop. 35)
![{\displaystyle {\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (\alpha )}}=\cos \Pi (c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b71713b06a569553559fb4fc6373edaeb2a336)
il vient
![{\displaystyle \operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c)=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (c-\beta )\,\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (c+\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d26d7f3469ffa1fefa3674185e9aff03d5afed4)
étant ici un nombre arbitraire, puisque l’on peut choisir à
volonté l’angle
du côté
avec le côté
entre les limites
et
et par suite
entre les limites
et
on en conclura,
en faisant successivement
que l’on a, pour
toute valeur positive du nombre
![{\displaystyle \operatorname {tang} ^{n}{\frac {1}{2}}\Pi (c)=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (nc).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c852c9c044a8e1b2a0f8d107048e63c794209077)
Considérons maintenant
comme le rapport de deux lignes
et
et admettons que l’on ait
![{\displaystyle \operatorname {cot} {\frac {1}{2}}\Pi (c)=e^{c}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1dc6731b9b946f0f2349627423ddab0fb1d2cba)
on trouvera que, pour toute ligne
en général, positive ou négative,
on a
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (x)=e^{-x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc8bc11d23c32eeda038fc1db8bcff02f89c72f)
pouvant être un nombre quelconque plus grand que l’unité, puisque
l’on a
pour ![{\displaystyle x=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d452043a695f8ea21372e9a80085cbb7ed6604c)
Comme l’unité qui sert à mesurer les lignes est arbitraire, on peut
faire en sorte que
représente la base des logarithmes de Neper.
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