37 — Parmi les équations trouvées plus haut (prop. 36), il suffit
de connaître les deux suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \Pi (c)&=\sin \Pi (a)\,\sin \Pi (b),\\[0.75ex]\sin \Pi (\alpha )&=\sin \Pi (b)\,\cos \Pi (\beta ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473c702242b2b72bc7cda2b1e568e848bb455d3e)
en appliquant la dernière aux deux côtés de l’angle droit
et
pour déduire de leur combinaison les deux autres équations du
no 35, sans qu’il y ait ambiguïté dans les signes algébriques, tous les
angles étant ici aigus. On parvient d’une manière semblable aux deux
équations
(1)
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(2)
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Considérons maintenant un triangle rectiligne ayant pour côtés
(fig. 35), et pour angles respectivement opposés
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-35.png/284px-Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-35.png)
Fig. 35
Si
et
sont des angles aigus, la perpendiculaire
abaissée du
sommet
sur le côté opposé
tombera dans l’intérieur du triangle,
et partagera le côté
en deux parties : soit
celle de ces parties
qui est adjacente à l’angle
celle qui est adjacente à
l’angle
On formera ainsi deux triangles rectangles qui donneront,
en appliquant l’équation (1), les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} \Pi (a)&=\sin B\,\operatorname {tang} \Pi (p),\\[0.75ex]\operatorname {tang} \Pi (b)&=\sin A\,\operatorname {tang} \Pi (p)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a400aa44055c81f9b488ad4a2b30c3ccb5079074)
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