Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/116

fonctions :

${\begin{aligned}&u+{\frac {d\log \rho _{0}}{dy}}\\&v-{\frac {d\log \rho _{0}}{dx}}\end{aligned}}$

restent finies, même au point $\mathrm {G} .$

La fonction $\psi$ doit donc satisfaire aux conditions suivantes :

La fonction doit être finie et continue ainsi que ses dérivées dans toute l’aire limitée par la courbe $\mathrm {C} ,$ sauf au point $\mathrm {G} \ ;$ elle doit satisfaire en tout point de cette aire à l’équation de Laplace $\Delta \psi =0$ et être égale à 0 en tout point du contour $\mathrm {C} \ ;$
enfin les fonctions

$u+{\frac {d\log \rho _{0}}{dy}},\qquad v-{\frac {d\log \rho _{0}}{dx}}$

doivent rester finies au voisinage de $\mathrm {G} .$

Le problème ainsi posé ne comporte qu’une solution ; cette solution nous sera donnée par la représentation conforme.

97. Admettons, en effet, que nous ayons obtenu la représentation conforme de l’aire $\mathrm {C}$ sur la surface d’un cercle de rayon égal à l’unité, ayant son centre à l’origine. Supposons que le point $\mathrm {G}$ corresponde au centre du cercle. À un point $\mathrm {M} (x,y)$ de l’aire $\mathrm {C}$ correspond $M'(x',y')$ du cercle : $x'+{\sqrt {-1}}y'$ est une fonction de $x+{\sqrt {-1}}y.$ Posons :

$\log \left(x'+{\sqrt {-1}}y'\right)=\psi +{\sqrt {-1}}\varphi$

Je dis que la fonction :

$\psi =\log {\sqrt {x'^{2}-y'^{2}}}$

satisfait aux conditions demandées.