fonctions :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&u+{\frac {d\log \rho _{0}}{dy}}\\&v-{\frac {d\log \rho _{0}}{dx}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31c722482e55691b7587ddf71926f427d5699be)
restent finies, même au point
La fonction
doit donc satisfaire aux conditions suivantes :
La fonction doit être finie et continue ainsi que ses dérivées dans toute l’aire limitée par la courbe
sauf au point
elle doit satisfaire en tout point de cette aire à l’équation de Laplace
et être égale à 0 en tout point du contour
enfin les fonctions
![{\displaystyle u+{\frac {d\log \rho _{0}}{dy}},\qquad v-{\frac {d\log \rho _{0}}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5314e2c909d3f78159c5f9807eacb110aa3a2d62)
doivent rester finies au voisinage de
Le problème ainsi posé ne comporte qu’une solution ; cette solution nous sera donnée par la représentation conforme.
97. Admettons, en effet, que nous ayons obtenu la représentation conforme de l’aire
sur la surface d’un cercle de rayon égal à l’unité, ayant son centre à l’origine. Supposons que le point
corresponde au centre du cercle. À un point
de l’aire
correspond
du cercle :
est une fonction de
Posons :
![{\displaystyle \log \left(x'+{\sqrt {-1}}y'\right)=\psi +{\sqrt {-1}}\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaabab3cf3c2f3dc4727f07fc1324b15ab14339a)
Je dis que la fonction :
![{\displaystyle \psi =\log {\sqrt {x'^{2}-y'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a466749df33209ef4ab9a62b56006ab8b799ef)
satisfait aux conditions demandées.