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DÉMONSTRATION DE KIRCHHOFF

Si nous regardons pour un instant $a,b$ comme les coordonnées rectangulaires d’un point dans un plan, à chaque point $\mathrm {M}$ de $\mathrm {C}$ correspondra un point $\mathrm {M'}$ du plan et, quand $\mathrm {M}$ décrit la courbe $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {M'}$ décrit une certaine courbe $\mathrm {C'}$ qui sera fermée si $\mathrm {C}$ est fermé ; seulement la courbe $\mathrm {C'}$ est fixe, tandis que la courbe $\mathrm {C}$ est mobile. Prenons l’intégrale

$\int _{\mathrm {C} }udx$

le long de la courbe $\mathrm {C} :$

$\int _{\mathrm {C} }udx=\int _{\mathrm {C'} }\left(u{\frac {dx}{da}}da+u{\frac {dx}{db}}db\right),$

la seconde intégrale étant prise le long de $\mathrm {C'} .$ Transformons cette intégrale par la formule de Stokes [8]

$\int _{\mathrm {C'} }\left(u{\frac {dx}{da}}da+u{\frac {dx}{db}}db\right)=\iint \left[{\frac {d}{da}}\left(u{\frac {dx}{db}}\right)-{\frac {d}{db}}\left(u{\frac {dx}{da}}\right)\right]$

la $\textstyle \iint$ étant étendue à toute l’aire $\mathrm {A'}$ limitée par la courbe $\mathrm {C'} .$

Effectuons les différentiations indiquées, il vient après réductions :

$\int _{\mathrm {C} }udx=\iint \left({\frac {du}{da}}{\frac {dx}{db}}-{\frac {du}{db}}{\frac {dx}{da}}\right)dadb.$

En opérant la même transformation sur $\textstyle \int _{\mathrm {c} }vdy$ et $\textstyle \int _{\mathrm {c} }wdz,$ puis additionnant, nous trouverons :

(21)

$\mathrm {J} =\int _{\mathrm {C} }udx+vdy+wdz=\int _{\mathrm {A'} }\sum \left({\frac {du}{da}}{\frac {dx}{db}}-{\frac {du}{db}}{\frac {dx}{da}}\right)dadb.$

L’aire $\mathrm {A'}$ ne varie pas, puisque $\mathrm {C'}$ est fixe ; la $\textstyle \sum$ placée sous le signe $\textstyle \int$ est constante en vertu de l’énoncé de Kirchhoff : donc $J={\textrm {const.}}$