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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

d’où :

$0={\frac {\partial \left(w'-w''\right)}{\partial y}}-{\frac {\partial \left(v'-v''\right)}{\partial z}}$

et deux autres équations analogues. Ces trois équations expriment que la somme

$\left(u'-u''\right)dx+\left(v'-v''\right)dy+\left(w'-w''\right)dz$

est une différentielle exacte $d\varphi .$ On peut donc poser :

$u'-u''={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\ldots \quad {\textrm {etc.}}$

Écrivons que l’équation de continuité est satisfaite pour $u=u'\ldots {\textrm {etc.}},$ et pour $u=u''\ldots {\textrm {etc.}},$ il vient :

$\sum {\frac {\partial u'}{\partial x}}=0\quad \sum {\frac {\partial u''}{\partial x}}=0\ ;$

d’où, en retranchant membre à membre :

$\sum {\frac {\partial \left(u'-u''\right)}{\partial x}}=0,$

c’est-à-dire :

$\Delta \varphi =0.$

Si le vase est entièrement rempli, la composante normale de la vitesse doit être nulle en chaque point de la paroi. Soient $l,m,p$ les cosinus directeurs de la normale en un point de la paroi, la composante normale de la vitesse sera :

$lu+mv+pw,$

et si cette composante est nulle :

${\begin{aligned}lu'+mv'+pw'&=0\\lu''+mv''+pw''&=0\end{aligned}}$