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LE TOURBILLON N’EST PAS NUL

Par conséquent :

$l{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+m{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+p{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}={\frac {\partial \varphi }{\partial n}}=0.$

Si le vase est à connexion simple, nous trouverons, en raisonnant comme ci-dessus [36] :

${\begin{aligned}&\varphi ={\textrm {const.}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0,\end{aligned}}$

ou :

$u'=u''\qquad v'=v''\qquad w'=w''$

Le problème ne comporte donc qu’une seule solution.

41. Supposons que le vase soit à connexion multiple, le raisonnement précédent n’est plus légitime ; il faut introduire une ou plusieurs conditions de plus.

Soit, par exemple, un volume doublement connexe. Pratiquons une coupure, et soit $\mathrm {J} _{0}$ la valeur de l’intégrale prise le long d’une courbe fermée qui traverse une seule fois la coupure.

Le problème sera déterminé si on se donne, outre les valeurs de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ celle de $\mathrm {J} _{0}$.

Supposons, en effet, qu’il puisse exister deux solutions, $(u',v',w')$ et $(u'',v'',w''),$ nous démontrerions comme plus haut [38] que :

${\begin{aligned}u'-u''={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\ &;\ v'-v''={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\ ;\ w'-w''={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial n}}=0&\qquad \Delta \varphi =0.\end{aligned}}$