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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

D’autre part :

${\begin{aligned}\int u'dw+v'dy+w'dz=\mathrm {J} _{0}\\\int u''dw+v''dy+w''dz=\mathrm {J} _{0}\end{aligned}}$

et en retranchant membre à membre :

$\int \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}dz\right)=0,$

ou

$\int d\varphi =0.$

La fonction $\varphi$ reste donc uniforme, même quand on supprime la coupure ; elle doit se réduire à une constante : par conséquent :

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=u'-u''=0\quad {\textrm {ou}}\quad u'=u'',\quad {\textrm {etc.}}$

42. Si le volume était triplement connexe, il faudrait pratiquer deux coupures. Pour déterminer le problème, il est nécessaire de se donner, outre les valeurs de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ la valeur $\mathrm {J} _{0}$ de l’intégrale $\mathrm {J}$ prise le long d’une courbe fermée rencontrant une fois la première coupure seulement et sa valeur $\mathrm {J} _{1}$ le long d’une courbe fermée, rencontrant une fois la deuxième coupure seule.

43. Analogie des équations hydrodynamiques de Helmholtz et des équations électrodynamiques de Maxwell. — 1^o Supposons que le liquide considéré occupe un espace indéfini et soit en repos.