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ÉQUATIONS DE HELMHOLTZ ET DE MAXWELL

Dans ce cas, le système des équations de Helmholtz présente la même forme que le système des équations de Maxwell, relatif au champ magnétique.

Maxwell appelle $u,v,w$ les composantes du courant, ce qui signifie qu’un élément de surface $d\omega$ normal à $ox$ est traversé dans le temps $dt$ par une quantité d’électricité $ud\omega dt\ldots {\textrm {etc.}}$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les composantes du champ magnétique produit par le courant : $a,b,c,$ les composantes de l’induction magnétique qui se réduisent à $\alpha ,\beta ,\gamma$ quand il n’y a ni aimant permanent, ni fer doux. L’équation

${\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial b}{\partial y}}+{\frac {\partial c}{\partial z}}=0$

de Maxwell se réduit alors à la suivante :

${\frac {\partial \alpha }{\partial x}}+{\frac {\partial \beta }{\partial y}}+{\frac {\partial \gamma }{\partial z}}=0.$

Si nous comparons les deux systèmes, nous trouvons :

(Maxwell)[1]	(Helmholtz)
$4\pi u={\frac {\partial \gamma }{\partial y}}-{\frac {\partial \beta }{\partial z}}$	$2\xi ={\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}$
$4\pi v={\frac {\partial \alpha }{\partial z}}-{\frac {\partial \gamma }{\partial x}}$	$2\eta ={\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}$
$4\pi w={\frac {\partial \beta }{\partial x}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}$	$2\zeta ={\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}$
${\frac {\partial \alpha }{\partial x}}+{\frac {\partial \beta }{\partial y}}+{\frac {\partial \gamma }{\partial z}}=0.$	${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}=0.$

On voit que, pour passer des équations de Helmholtz à celles

1. Voir Électricité et optique, i, § 102 et § 118.