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CAS PARTICULIER

56. Cas particulier. — La vitesse est parallèle au plan des $xy$ et ne dépend que de $x$ et de $y,$ alors :

$w=0\qquad {\frac {du}{dz}}={\frac {dv}{dz}}=0.$

En supposant que ces conditions soient remplies à l’origine des temps, elles le seront toujours : 1^o si le liquide est indéfini, parce que tout plan parallèle au plan des $xy$ est un plan de symétrie ; 2^o si le liquide remplit un cylindre parallèle à $oz,$ indéfini dans les deux sens. Il en sera de même encore si ce cylindre est limité par deux plans perpendiculaires à l’axe des $z.$ En effet, quand on introduit une cloison dans le liquide, on impose en général au mouvement une condition de plus, à savoir : que la composante de la vitesse normale à la cloison soit nulle en chaque point de celle-ci. Mais, dans le cas qui nous occupe, cette condition était remplie avant qu’on ne mette la cloison et l’existence de cette cloison ne modifie pas le mouvement.

57. D’après les hypothèses que nous avons faites :

(6)

${\begin{aligned}2\xi &={\frac {\partial w}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial z}}=0\\2\eta &={\frac {\partial u}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial x}}=0\\2\zeta &={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\end{aligned}}$

et l’équation de continuité se réduit à :

(7)

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0.$