pour la valeur approchée de
, dans laquelle on a fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\mu +1}{\mu +\mu '+1}}{\sqrt {\frac {(m+m')(n+n')(\mu +1)}{mn(\mu +\mu '+1)}}}=\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10b16d7c1d0c2e13777732ec6c6b087b37cd466)
.
On peut aussi mettre cette expression de
sous une autre forme : à cause de la grandeur de
, on a, à très peu près, par la formule du binôme,
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)^{\!\mu }=\left(1+{\frac {1}{\mu +\mu '}}\right)^{\!\mu +\mu '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4622158198957f167d77dfb9d075cf43435cdbd)
;
et à cause de
, il en résulte
|
.
|
(7)
|
Si
et
sont de très petits nombres par rapport à
et
, on aura, à très peu près,
![{\displaystyle \left(1+{\frac {m'}{m}}\right)^{\!m}=e^{m'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2f2468fd2b52875c6a5e74be91ecd52dcdfa62)
,
![{\displaystyle \left(1+{\frac {n'}{n}}\right)^{\!n}=e^{n'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab21ebf69dd578aaa7b72ff2e7c0a0044451730)
,
![{\displaystyle \left(1+{\frac {\mu '}{\mu }}\right)^{\!-\mu }=e^{-\mu '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b1b4c17a6e57bd5b2ed26ac23e45625b72a707)
,
soit par la formule du binôme (no 8), soit par la considération des logarithmes ; on aura également, à très peu près,
![{\displaystyle \left({\frac {m+m'}{\mu +\mu '}}\right)^{\!m'}=\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c184cae804b4f8fcf76ba87d7bcd3cb7280b3bbe)
,
![{\displaystyle \left({\frac {n+n'}{\mu +\mu '}}\right)^{\!n'}=\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbda633dbfdc716bb467794dd2854ed112da753)
;
et l’on pourra aussi remplacer le facteur
par l’unité dont il différera très peu. Par conséquent, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {U'} =\mathrm {H} \,\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7012563f91f3729bc4b1de4760e42518bde11e5c)
;
et d’après la formule (5), nous voyons que cette expression de
coïncide avec la probabilité que les événements E et F arriveront des nombres de fois
et
, dans un nombre d’épreuves
, lorsque les chances
et
de E et F sont données à priori, et ont pour valeur