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Nous pouvons utiliser ici la propriété fondamentale des proportions, et écrire de suite :
$bx=a\;(b-x)$ou$bx=ab-ax$.
xxx D’où $bx+ax=ab$ ;  $x\;(b+a)=ab$
et enfin, en supposant que $(b+a)$ ne soit pas nul,
$x={\frac {ab}{(b+a)}}$ou$x={\frac {ab}{a+b}}$.

Vérification :${\frac {x}{a}}={\frac {ab}{b+a}}:a={\frac {b}{a+b}}$

${\frac {b-x}{b}}={\frac {b-{\frac {ab}{a+b}}}{b}}={\frac {ab+b^{2}-ab}{(a+b)b}}={\frac {b^{2}}{(a+b)b}}={\frac {b}{a+b}}$

Exemple VI.${\frac {1}{x+a}}-{\frac {1}{x-a}}={\frac {2}{a^{2}-x^{2}}}$.

En appliquant la remarque n° 96, nous pouvons remplacer $(x+a)$ par $(a+x)$, $(x-a)$ par $-(a-x)$, et par suite la fraction $+{\frac {1}{x-a}}$ devient $-{\frac {1}{a-x}}$. D’où l’équation :

${\frac {1}{a+x}}-{\frac {1}{a-x}}={\frac {2}{a^{2}-x^{2}}}$.

Le p. p. d. c. est maintenant $(a^{2}-x^{2})$ ; de là :

${\frac {a-x}{a^{2}-x^{2}}}-{\frac {a+x}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {2}{a^{2}-x^{2}}}$

puis$a-x-(a+x)=2$
$a-x-a-x=2$
d’où$-2x=2$et$x=-1$.

Vérification :

${\frac {1}{x+a}}+{\frac {1}{x-a}}={\frac {1}{-1+a}}+{\frac {1}{-1-a}}={\frac {1}{a-1}}-{\frac {1}{a+1}}$

$={\frac {a+1}{a^{2}-1}}-{\frac {a-1}{a^{2}-1}}={\frac {a+1-a+1}{a^{2}-1}}={\frac {2}{a^{2}-1}}$

xxx D’autre part${\frac {2}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {2}{a^{2}-(-1)^{2}}}={\frac {2}{a^{2}-1}}$.