Ces divers exemples montrent qu’on applique constamment les principes relatifs aux équations et ceux du calcul algébrique. Suivant la forme de l’équation, on peut la simplifier, effectuer les parenthèses, chasser les dénominateurs, ou intervertir ces deux opérations. Mais d’une façon générale, on peut formuler la règle suivante :
128. — Règle générale pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue :
1° Simplifier l’équation de toutes les manières possibles ;
2° Chasser les parenthèses et les dénominateurs ;
3° Transposer les termes, pour faire passer dans un membre tous les termes inconnus, et dans l’autre tous les termes connus ;
4° Réduire les termes semblables ;
5° Diviser les deux membres par le coefficient de l’inconnue.
Ne Jamais oublier ensuite la vérification.
129. — Principe. — Quand on élève au carré les deux membres d’une équation, on obtient une équation plus générale que la première.
Représentons par et les deux membres d’une équation :
(1)
Élevons-les au carré :
(2)
1° Il est clair que toute solution de l’équation (1), qui donne à et des valeurs numériques égales, donne aussi à et des valeurs numériques égales, et convient à l’équation (2).
2° Mais, réciproquement, toute solution de l’équation (2) rend égales les valeurs de et , et par suite
(3)
ou.(4)
Sous cette forme, on voit que l’équation (4), qui n’est autre que l’équation (2), est vérifiée pour les solutions qui rendent
ou
etou
L’équation (2) admet donc non seulement les racines de l’équation (1), mais aussi celles de l’équation obtenue en changeant le signe du second membre de l’équation (1). Elle est donc plus générale que la proposée.
