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monôme quelconque, un polynôme, étant représenté par $\mathrm {a}$, et le terme connu, ou l’ensemble des termes connus, étant représenté par $\mathrm {b}$, l’équation du premier degré à une inconnue est représentée par la forme générale :
$\mathrm {a} x=\mathrm {b}$.(1)

Nous allons chercher dans quels cas cette équation est possible ou impossible, et, dans la première hypothèse, dans quels cas elle admet une ou plusieurs solutions. Cette recherche s’appelle une discussion.

132. — Discussion. — Une division par $0$ n’ayant aucun sens, nous ne pouvons diviser les deux membres de l’équation (1) par $\mathrm {a}$ que si $\mathrm {a}$ n’est pas nul. De là, deux hypothèses à faire sur la valeur de $\mathrm {a}$ : 1° $\mathrm {a} \neq 0$ ;   2° $\mathrm {a} =0$.

1° $\mathbf {a\neq 0}$. — Nous pouvons alors diviser par $\mathrm {a}$ les deux membres de l’équation (1).
$x=\mathrm {\frac {a}{b}}$.(2)

Suivant les signes de $\mathrm {b}$ et de $\mathrm {a}$, ce quotient est positif ou négatif ; si $\mathrm {b}$ est nul, son quotient par $\mathrm {a}$ l’est aussi, et par suite $x=0$.
xxx Il y a donc toujours une racine.

2° $\mathbf {a=0}$. — La division par $0$ n’ayant pas de sens, on laisse l’équation sous la forme
$0x=\mathrm {b}$.(3)

xxx — Si $\mathrm {b}$ n’est pas nul, une telle égalité est impossible, car le produit d’une valeur quelconque par $0$ est toujours nul.
xxx L’équation proposée est donc impossible.
xxx — Si $\mathrm {b}$ est nul, une telle égalité est toujours possible, car on a toujours, quelle que soit la valeur donnée à $x$ :
$0x=0$.(4)

xxx Un nombre quelconque pouvant satisfaire l’équation, on dit qu’elle admet une infinité de solutions, ou qu’elle est indéterminée.