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Symboles. — Par analogie avec la forme (1), on convient d’indiquer la valeur de $x$ dans l’équation (3) par le symbole
$x=\mathrm {\frac {b}{0}}$(5)

qui signifie l’impossibilité.

Cette idée se représente aussi d’une autre manière ; si le dénominateur devenait de plus en plus petit, on aurait successivement :

$\mathrm {{\frac {b}{\frac {1}{10}}}=10\,b\ \ ;\ \ {\frac {b}{\frac {1}{1\,000}}}=1\,000\,b\ \ ;\ \ {\frac {b}{\frac {1}{1\,000\,000}}}=1\,000\,000\,b\ \ldots }$

Le dénominateur se rapprochant indéfiniment de la valeur $0$, sans jamais l’atteindre théoriquement, on dit qu’il a pour limite $0$ ; en même temps, le quotient grandit de plus de plus, et comme la suite des nombres est illimitée, sa valeur ne peut être représentée par aucun nombre lorsque le dénominateur devient $0$ ; ce quotient, infiniment grand, est représenté par le signe infini $\infty$, qui est aussi le symbole de l’impossibilité.
xxx — Par analogie avec la forme (1), on convient d’indiquer la valeur de $x$ dans l’équation (4) par le symbole

$\mathbf {x={\frac {0}{0}}}$

qui signifie l’indétermination.

Résumé de la discussion

$\mathrm {a} \neq 0$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$x=\mathrm {\frac {b}{a}}$, positive, négative, ou nulle : 1 solution.

$\mathrm {a} =0$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {b} \neq 0$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$x={\frac {\mathrm {b} }{0}}=\infty$, impossibilité : 0 solution.

$\mathrm {b} =0$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$x={\frac {0}{0}}$indétermination : infinité de solutions.

133. — Exemple 1.$\mathbf {{\frac {x}{3}}-{\frac {x}{12}}=2+{\frac {x}{4}}}$