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139. — Principe I. — Quand on ajoute une même quantité aux deux membres d’une inégalité, ou quand on en retranche une même quantité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens que la première.
Si $\mathrm {a>b}$je dis que$\mathrm {a+m>b+m}$.
xxx En effet, écrire$\mathrm {a>b}$
signifie$\mathrm {a-b>0}$.(1)

En ajoutant au premier membre deux nombres opposés, dont la somme est 0, ce membre conserve sa valeur, et reste positif.
$\mathrm {a+m-b-m>0}$.
ou :$\mathrm {(a+m)-(b+m)>0}$.
xxx Cette dernière inégalité montre que la différence entre $\mathrm {(a+m)}$ et $\mathrm {(b+m)}$ est positive ; donc, par définition, $\mathrm {(a+m)}$ est supérieur à $\mathrm {(b+m)}$, ou :

$\mathrm {a+m>b+m}$

xxx Une démonstration analogue donnerait :

$\mathrm {a-m>b-m}$

140. — Principe II. — Quand on multiplie ou divise par une même quantité les deux membres d’une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité : 1^er de même sens que la première, si cette quantité est positive ; 2^e de sens contraire à la première, si cette quantité est négative.
xxx De$\mathrm {a>b}$(1)je tire$\mathrm {a-b>0}$.
xxx Multiplions le premier membre, $\mathrm {(a-b)}$, par $\mathrm {m}$.
xxx 1^o Si $\mathbf {m>0}$, la différence $\mathrm {(a-b)}$ étant aussi positive, leur produit $\mathrm {(a-b)\;m}$ est positif, et l’on a :
$\mathrm {(a-b)\ m>0}$
xxx ou : $\mathrm {am-bm>0}$
xxx ce qui entraîne, par définition,
$\mathrm {am>bm}$.(2)

xxx 2^o Si $\mathbf {m<0}$, la différence $\mathrm {(a-b)}$ étant positive, leur produit $\mathrm {(a-b)\;m}$ est négatif, et l’on a :
 $\mathrm {(a-b)\;m<0}$.
xxx ou $\mathrm {am-bm<0}$