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ce qui entraîne, par définition
$\mathrm {am<bm}$.(3)

xxx Les inégalités (2) et (3) comparées à (1) justifient les deux parties du théorème.

Un raisonnement analogue donnerait :
$\mathrm {{\frac {a}{m}}>{\frac {b}{m}}}$si $\mathrm {m>0}$ ; $\mathrm {{\frac {a}{m}}<{\frac {b}{m}}}$si $\mathrm {m<0}$.

Conséquences. — Quand on doit multiplier les deux membres d’une inégalité par une quantité dont on ignore le signe, on multiplie par le carré de cette quantité, qui est toujours positif.

141. — Principe III. — Quand on élève au carré les deux membres d’une inégalité, on obtient en général une nouvelle inégalité :
xxx 1° De même sens, si les deux membres étaient positifs ;
xxx 2° De sens inverse, si les deux membres étaient négatifs ;
xxx 3° De sens inconnu, si les deux membres étaient de signes contraires.
xxxSi les deux membres étaient deux nombres opposés, on obtiendrait une égalité.

1° Soient :$\mathbf {a>0}$ ; $\mathbf {b>0}$ ; $\mathbf {a>b}$.
xxx Je dis que$\mathrm {a^{2}>b^{2}}$.
xxx En effet, de $\mathrm {a>b}$je tire$\mathrm {a-b>0}$ (1)

xxx Puisque a et b sont positifs,$\mathrm {a+b} >0$.(2)

Multiplions les deux membres de l’inégalité (1) par la quantité positive $\mathrm {(a+b)}$, la nouvelle inégalité sera de même sens (n° 140, 1°) :
$\mathrm {(a-b)\ (a+b)>0}$ou$\mathrm {a^{2}-b^{2}>0}$
ce qui entraîne, par définition : $\mathrm {a^{2}>b^{2}}$.

2° Soient :$\mathbf {a<0}$ ; $\mathbf {b<0}$ ; $\mathbf {a>b}$.
xxx Je dis que$\mathrm {a^{2}<b^{2}}$.
xxx En effet, de $\mathrm {a>b}$je tire$\mathrm {a-b>0}$(1)

xxx Puisque a et b sont négatifs,$\mathrm {a+b} <0$.(2)

Multiplions les deux membres de l’inégalité (1) par la