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quantité négative $\mathrm {(a+b)}$, la nouvelle inégalité sera de sens contraire (n° 140, 2°) :

$\mathrm {(a-b)\,(a+b)} <0$ou$\mathrm {a^{2}-b^{2}} <0$

ce qui entraîne, par définition :$\mathrm {a^{2}<b^{2}}$.

3° Soient :$\mathbf {a>0;b<0;\qquad a>b}$.
xxx Ici, je puis écrire encore $\mathrm {a-b} >0$,
mais la somme algébrique $\mathrm {(a+b)}$ est de signe inconnu, car ce signe dépendra de celui du terme, a ou b, qui a la plus grande valeur absolue ; de plus, cette somme peut être nulle, si a et b sont deux nombres opposés. On ne peut donc écrire que les relations suivantes :
xxx Si a et b n’ont pas la même valeur absolue :

$\mathrm {(a-b)\,(a+b)\neq 0}$ou$\mathrm {a^{2}-b^{2}\neq 0}$ou$\mathrm {a^{2}\neq b^{2}}$.

xxx Si a et b sont deux nombres opposés, de somme 0 :

$\mathrm {(a-b)\,(a+b)=0}$ou$\mathrm {a^{2}-b^{2}=0}$ou$\mathrm {a^{2}=b^{2}}$.

Exemples :1° Si $8>5$ on a $64>25$
 2° Si $-2>-7$ on a $4<49$

3°

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

Si $3>-10$ on a $9<100$

Si $9>-4$   on a $81>16$

Si $6>-6$   on a $36=36$

§ II. — Résolution des Inégalités.

142. — Lorsqu’une inégalité est toujours vraie, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qu’elle renferme, c’est une inidentité ; si elle n’est vraie que pour certaines valeurs attribuées aux lettres appelées inconnues, c’est une inéquation ; ces valeurs sont les racines de l’inéquation. On donne encore à l’inéquation le nom d’inégalité conditionnelle. — Quand deux inéquations admettent strictement les mêmes racines, on dit qu’elles sont équivalentes. — Chercher les racines d’une inéquation, c’est la résoudre.

143. — Enfin, on résout une inéquation d’après les principes